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Das 5. Postulat des Euklid gelöst!?
von Michael Köchling


Nichteuklidische Räume

Es wird in der Physik sehr viel von nichteuklidischen Räumen gesprochen, sowie deren Auswirkungen auf die Raumgeometrie des Universums. Dies wird in Verbindung mit der Gravitationskraft als Raumkrümmung dargestellt. Doch damit nicht genug, wird auch noch die Zeit als Dimension bemüht und eine Raumzeitkrümmung daraus gemacht.

Nötig erscheint es deshalb erst einmal festzustellen, was "nichteuklidische Räume" sind. Der Grieche Euklid ( um 300 v. Chr. ) war Mathematiker und schrieb das Handbuch "Die Elemente" (13 Bände erhalten). Dieses Handbuch war über 2000 Jahre lang Grundlage des Geometrieunterrichtes.


Euklid definierte die Elemente seiner Geometrie als Punkt, Linie und Fläche - Begriffe, mit denen heute jedes Schulkind vertraut ist. Dann stellte er fünf Hauptpostulate auf:


1. Zu je zwei Punkten lässt sich eine Strecke ziehen, die sie verbindet.

2. Jede (endlich lange) Strecke, lässt sich zu einer (unendlich ausgedehnten) Geraden verlängern.

3. Gegeben sind zwei Punkte, daraus lässt sich ein Kreis konstruieren, auf dem der eine Punkt liegt und dessen Mittelpunkt der zweite Punkt ist.
4. Alle rechten Winkel sind einander gleich.
5. Schneidet eine Gerade zwei andere Geraden dergestalt, dass die Innenwinkel auf der einen Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel ( 180° ) sind, dann schneiden sich letztere zwei Geraden auf ebendieser Seite.

Ganz allgemein käme man mit den ersten 4 Postulaten zurecht, doch was hat Euklid mit dem 5. Postulat gemeint und wofür hat er es geschaffen?
Darüber haben sich Mathematiker Jahrhunderte den Kopf zerbrochen und ob die heutigen Interpretationen wirklich seiner Aussage entsprechen, bleibt offen.
Tatsache ist es, dass man zur Zeit des Euklid nur mit ebenen Flächen rechnete. Dies waren Quadrate, Rechtecke, Dreiecke und Kreise. Beziehen wir dies nun auf Körper ( Räume ), so erhalten wir Würfel, Quader, Prismen, Tetraeder und Pyramiden. Sie alle haben etwas gemeinsam. Es sind die geraden Aussenflächen. Demnach handelt es sich hierbei um "euklidische Räume". Körper wie Kugeln, Zylinder, Kegel und Ellipsoide sind daher "nichteuklidische Räume", weil sie teils gewölbte Aussenflächen haben, oder vollständig gewölbt sind.
Um die Oberflächen der zuletzt genannten Körper berechnen zu können, mussten andere Voraussetzungen geschaffen werden, denn bei einem Kugelabschnitt ist beispielsweise r nicht gleich s .

Noch schlimmer wird es bei den Winkeln. Ihre Summen sind > 180°, wogegen die Winkelsummen bei Dreiecken immer 180° ergeben. Wer schon einmal eine Abwicklung eines Trichters von rund auf viereckig gemacht hat, der weiss, dass er die wahren Längen und Winkel ermitteln muss, damit seine Abwicklung der realen Form entsprechen wird.

In anderen Worten: Es ergeben sich für gekrümmte Oberflächen andere Winkel und Längen gegenüber geraden Flächen.

Haben wir es aber mit Körpern zu tun, so beinhalten sie neben ihren Oberflächen auch noch einen Inhalt, das Volumen. Darum möchte ich an dieser Stelle darauf hinweisen, dass sich niemals die Räume in den Körpern verändern können. Einzig die Volumen werden beeinflusst. Selbst wenn der Körper sich durch Erwärmung ausdehnt, oder durch Abkühlung zusammenzieht, behält er die gleiche Form. Sogar verbiegen kann man Körper, wobei das Volumen weitgehend unangetastet bleibt, es sei denn, der Körper wird dabei auch noch gestreckt oder gestaucht.
Egal, jeder Körper, gleich welcher Form er ist, beinhaltet ein Volumen, welches in seinen drei Dimensionen Länge, Breite und Höhe vermessen werden kann.
Ein bestimmter Raum, egal welcher Form, bleibt in sich stabil, auch wenn er sich ausdehnt (wie unser Universum), oder zusammenzieht. Hierbei verändert sich nur das Volumen, wogegen die Form erhalten bleibt. Allerdings verändern sich automatisch alle Abstände jeglicher Bezugspunkte innerhalb des Körpers (Raumes). Damit kommt es zu Strömungen in dem Körper, ganz so, wie die Sterne und Galaxien auseinander streben.
Kommen dann noch lokale Strömungen wie beispielsweise durch die Gravitationskräfte vieler Einzelmassen hinzu, so hat dies die bekannten Auswirkungen, welche jedem Flugkapitän bekannt sind, da er sich mit seinem Flugzeug dreidimensional bewegt und dabei Luftströmungen ausgesetzt ist. Hier würde bestimmt niemand auf die Idee kommen, es handele sich dabei um eine Raumzeitkrümmung. Der Hauptfehler war meines Erachtens, dass man ein statisches Universum annahm. Also ein Universum, welches vollkommen starr in sich sein sollte, aber durch die unterschiedlichst hohen Gravitationskräfte viele Raumzeitkrümmungen erfährt.
Wir können davon ausgehen, dass jedes Objekt innerhalb eines Raumes einer Drift ausgesetzt ist und bewegen sich ein Objekte zusätzlich mit einer Eigengeschwindigkeit, so unterliegt damit alles innerhalb eines Raumes (Körpers) der Relativität. Dies ist darin begründet, weil sich alles in dem Raum bewegt und somit keinem Inertialsystem (idealisierter Raum ohne jegliche Bewegung und Veränderung) entspricht. Es gibt nur noch sich bewegende Bezugspunkte, Relativgeschwindigkeiten und Relativbewegungen.
Ganz anders verhielte es sich, wenn wir einen festen Bezugspunkt auf der Oberfläche eines Körpers (Raumes) hätten. Solange der Körper sich nicht ausdehnt oder zusammenzieht, hätten wir zumindest annähernd ein Inertialsystem, denn wir wissen ja nicht, ob sich der Körper selber bewegt. In einem solchen Fall kämen wir wieder ohne Relativität aus und wir könnten exakte Aussagen treffen.

Was ist also unter einer Raumzeitkrümmung überhaupt zu verstehen!?

Wir wissen, in Abhängigkeit der Gravitationsstärke, welche sich proportional zur Masse verhält, verändert sich der Ablauf der Zeit. In anderen Worten, um so mehr Masse ein Objekt hat, um so langsamer vergeht für diesen Körper die Zeit. Hieraus schloss Albert Einstein auf die vielen Eigenzeiten in unserem Universum. Die unterschiedlichen Zeitabläufe wollte er mit dem Raum in Verbindung bringen, woraus er auf eine Raumzeit schloss.
Anstatt also die Strömungen und Eigenbewegungen der Objekte im Raum zu berücksichtigen, konstruierte er eine Raumzeitkrümmung, welche Verbiegungen des Raumes in sich zulassen sollte. Viel einfacher wäre es gewesen, die unterschiedlichen Strömungen als Ursache zu sehen, doch dies liess die bestehende Theorie eines in sich starren und vollkommen leeren Universums (das Vakuum betreffend) damals nicht zu. Warum auch immer, hatte man das Vakuum für vollkommen leer befunden. Dies ging auf die Lichtgeschwindigkeitsmessungen von Michelson und Morley zurück, die eine Relativbewegung der Erde in dem Medium "Äther" nachweisen wollten.
Überhaupt stellte sich die Schwierigkeit eines starren "Äthers" so dar, dass er auf alles eine bremsende Wirkung hätte. Dies führte zu erheblichen Schwierigkeiten mathematisch das Weltall zu beschreiben. Hätte man den strömenden und mitgehenden "Äther" genommen, so wäre man heute entschieden weiter.
Doch kommen wir zurück zur Raumzeitkrümmung. Bewegen wir uns nun durch den Raum und stellen fest: Egal wohin wir uns bewegen, aus allen Richtungen scheint für uns das Licht die gleiche Geschwindigkeit zu haben, und dies obwohl wir eine Relativgeschwindigkeit zu unserer Umgebung haben.
Nun kommt allerdings die Gravitation ins Spiel, denn sie strömt ebenso aus allen Richtungen auf uns ein wie das Licht. In anderen Worten, da sie von vorn nicht stärker wirkt als von hinten, nimmt die Gravitation den Träger des Lichtes mit. Und erst in weiter Ferne wird dieser Effekt kompensiert. Wir müssen daher die Transformationsgesetze einsetzen. Nur so erhalten wir richtige Ergebnisse in einem sich selbst bewegenden und mitgehenden Medium. Und darum scheint auch die Lichtgeschwindigkeit für uns immer die gleiche Geschwindigkeit zu haben. Nur der Doppler - Effekt zeigt durch die unterschiedlichen Wellenlängen in Bewegungsrichtung oder entgegengesetzt die Relativbewegungen an. Bei hohen Geschwindigkeiten ( > 10% c - Licht) macht sich jedoch ein zunehmender Widerstand bemerkbar. Dies ist analog bei proportional zunehmender Eigengeschwindigkeit zu der im Quadrat ansteigenden Widerstandskraft der Luft zu sehen, denn beides errechnet sich nach den gleichen Bedingungen.
Ach ja, dann kam noch hinzu, dass man das Geschwindigkeits - Additions - Theorem auf die Eigenschaften des Lichtes anwenden wollte. Hierbei stellte man fest, dass das Licht sich nicht daran hielt, sondern immer die gleiche Geschwindigkeit aufwies. Dies bedeutet nichts anderes, als das sich die Eigengeschwindigkeiten eines Emitters (Abstrahlers) nicht zur Lichtgeschwindigkeit addieren oder subtrahieren lassen. Nur die Wellenlängen verändern sich bezüglich der Emittergeschwindigkeiten.
(Die mathematische Herleitung hierzu schrieb ich am 18. Juni 1996 an das Max-Planck-Institut für Radioastronomie, Bonn) Doch offensichtlich war dies bekannt, wenn auch nicht öffentlich gemacht, denn alles verhält sich entsprechend der Mach´schen Gesetze. Eigentlich habe ich nur die Begründung dafür gefunden und dargelegt, warum das Licht stets die gleiche Geschwindigkeit aufweist. Würde in den Lehrbüchern nicht immer wieder falsches Zeugnis gegeben, hätte ich mir die Mühe sparen können.

Erinnern Sie sich noch an das fünfte Postulat des Euklid? Die ersten vier Postulate waren vollkommen verständlich. Doch warum gibt es so große Verständnisschwierigkeiten mit dem fünften? Könnte es sein, dass bei der Übersetzung aus dem Griechischen ein Fehler gemacht wurde? Ist der Satz vielleicht vollkommen verdreht worden?
Meine Erkenntnisse sagen mir, dass im Englischen manches anders herum gesagt wird als im Deutschen. Und was hat Euklid überhaupt aussagen wollen. Was wollte er uns darstellen? In den ersten Postulaten gib er Anweisungen, wie man vorzugehen hat, um eine Strecke, eine unendliche Gerade und einen Kreis zu konstruieren. Sodann gibt er noch an, dass alle rechten Winkel sich gleichen, unabhängig ihrer Schenkellängen.

Richtig genommen sind alles Anleitungen!
Doch eine Anleitung fehlt noch! Nämlich die zu seinem Paradeobjekt, dem Dreieck!

Unter diesen Voraussetzungen ergibt seine Aussage im 5. Postulat folgende Erklärung:

Schneiden zwei Geraden eine andere Gerade mit Winkeln zusammen kleiner 180° auf einer Seite, so schneiden sich diese beiden Geraden auf eben dieser Seite!
Und fertig ist jedes Dreieck mit beliebigen Winkeln!


Mathematisch ausgedrückt lautet es so:
Schneiden die Geraden B und C die Gerade A in Winkeln zusammen kleiner 180° auf einer Seite, so schneiden sich die Geraden B und C auf eben dieser Seite.

Mit dieser Anweisung gab uns Euklid die Möglichkeit, jedes beliebige Dreieck zu konstruieren!


Hier nun zur Verifizierung noch einmal das 5. Postulat des Euklid:

Schneidet eine Gerade zwei andere Geraden dergestalt, dass die Innenwinkel auf der einen Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich letztere zwei Geraden auf eben dieser Seite.

 

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